ПАМЯТИ ГЕОРГИЯ ИСААКОВИЧА КАЦА

 

ИДЕИ, КОТОРЫЕ ЖИВУТ ДОЛЬШЕ НАС

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

С замечательным математиком и замечательным человеком Георгием Исааковичем Кацем мы были знакомы с 1968 по 1978 г.  — в последние годы его жизни. К огромному несчастью, он неожиданно умер от сердечного приступа  20 мая 1978 г. в возрасте 54 лет, в полном расцвете сил и таланта. Его родные и друзья, конечно, лучше меня знали его чисто человеческие качества. Например, Б.И. Хацет пишет, что за скромность и благородство друзья в шутку называли его «Пьером Безуховым»; впрочем, вы увидите ниже, что таким же он был и в математике. Но, вероятно, лишь В.Г. Палюткин (как и я, ученик Г.И.) больше моего знаком с его «творческой лабораторией». Кроме того, мне довелось наблюдать за активным развитием его идей уже после его смерти, проведя немало времени в научных центрах, где это происходило. Поэтому вы найдёте здесь не только воспоминания о событиях и впечатлениях тех лет, но и размышления о «надличном»: о его математических идеях, их генезисе, развитии и влиянии на других исследователей. Разумеется, это не научная статья, и мои объяснения не претендуют ни на полноту, ни на точность; всё же они будут понятнее тем, кто в какой-то степени знаком с алгеброй и анализом. Здесь отражена лишь моя личная точка зрения, и я пишу в основном о том, что пережил лично. Число работ, использовавших идеи Г.И. и полученные им результаты, уже к 1992 г. составляло сотни наименований — см. книгу (22), но в список литературы к этим заметкам вошли лишь те, которые, как мне кажется, могут лучше помочь желающим познакомиться с его творческим наследием.

 

АЛГЕБРЫ КАЦА

 

Осенью 1968 г. я начал посещать семинар Г.И. по кольцам операторов в Институте математики Академии Наук (тогда УССР). До сих пор помню (конечно, отрывочно) его доклады по работам Глимма, Диксмье и Дуади, и Фелла. Г.И. был замечательным докладчиком, он излагал материал точно и ясно, а главное, доходчиво и живо. Прежде я не встречал ничего похожего, да и за многие годы, прошедшие после его смерти, лишь несколько докладов произвели на меня сравнимое впечатление.

 

Вплоть до лета 1969 г. наши отношения сводились к вежливым приветствиям при встречах, и только когда после окончания университета я попал на работу инженером в Киевское высшее инженерно-авиационное училище, где Г.И. был профессором математики, мы познакомились поближе. Аспирантура была для меня недоступна, хоть я и получил диплом с отличием – в те годы был настоящий разгул антисемитизма; по этой же причине и Г.И. не мог работать ни в университете, ни в системе Академии Наук, а семинар в Институте математики ему помог организовать Ю.М. Березанский. Зато в течение нескольких следующих лет мне посчастливилось пройти «неформальную аспирантуру» у Г.И., которая в огромной степени определила мою дальнейшую судьбу, и не только творческую. Не могу не вспомнить, что в эти же годы я прошёл такую же «неформальную аспирантуру» и  у М.Л. Горбачука (закончившуюся защитой кандидатской диссертации в 1975г.), которому я глубоко благодарен и «за науку», и за то, что он захотел и смог меня поддержать – не каждый тогда был на такое способен. 

 

Для начала Г.И. поручил мне прочесть и рассказать ему книгу Ж. Серра «Алгебры Ли и группы Ли», а затем предложил на выбор две темы для возможного исследования. Первая состояла в развитии находившейся тогда в печати статьи Г.И. и Ф.А. Березина (3) — одной из пионерских работ направления, сейчас превратившегося в целую область математики, иногда в шутку называемую «суперматематикой». Ее предметом являются математические структуры (супералгебры и супергруппы Ли, супермногообразия и др.), градуированные некоторой группой, в простейшем случае – группой Z/2Z. Появление таких структур  было мотивировано квантовой механикой, где рассматриваются частицы двух сортов — фермионы и бозоны, подчиняющиеся совершенно различным статистическим закономерностям. И Г.И., и Ф.А. Березин, имели мощную теорфизическую «закваску», и потому совсем не случайно оказались пионерами в этой новой тогда области. Г.И. был учеником Н.Н. Боголюбова и защитил у него в 1950 г. кандидатскую диссертацию по корреляционной теории электронного газа.

 

Но я, упустив шанс стать «суперматематиком», отдал предпочтение другой теме — так называемым кольцевым группам, изобретенным Г.И. около 1960 г. Напомню, чем было вызвано появление этой теории. 

 

Если G — коммутативная локально компактная группа, а G — группа её унитарных непрерывных характеров (тоже коммутативная и локально компактная - она называется двойственной к G группой), то оказывается, что двойственная к G группа изоморфна G. В этом состоит принцип двойственности Л.С. Понтрягина. Эта красивая теория перестает быть верной, если группа становится некоммутативной, даже если она конечна, — у таких групп слишком мало характеров, и они не отражают всей информации о группе. Чтобы «спасти» теорию двойственности, естественно заменить характеры группы её неприводимыми унитарными представлениями (ведь неприводимые представления  коммутативных групп — это как раз характеры). И действительно, в 1938 г. Т. Таннака показал, что по набору таких представлений компактной группы можно восстановить саму группу с точностью до изоморфизма, а М.Г. Крейн дал в 1949 г. полное аксиоматическое описание такого двойственного объекта для компактной группы. Однако математическая структура этого двойственного объекта (блок-алгебры) оказалась далекой от структуры группы и, следовательно, симметрия теории двойственности была нарушена. Впоследствии такую несимметричную теорию двойственности развили В.Ф. Стайнспринг (1959) для унимодулярных и Н. Татсуума (1965-66) для любых локально компактных групп.

 

Редколлегия сборника переводов «Математика» предложила Г.И. перевести на русский язык указанную статью В.Ф. Стайнспринга, и в процессе её продумывания у него родилась замечательная идея построить новую категорию (объекты которой он назвал кольцевыми группами), которая бы содержала группы и двойственные к ним объекты, и в которой бы действовал симметричный принцип двойственности. Последнее означало, что математическая структура исходного объекта и двойственного к нему должна быть одинаковой, как и в случае двойственности Понтрягина. Более точно, Г.И. предложил следующее.

 

Пусть A — коммутативная алгебра функций на унимодулярной группе G, измеримых и существенно ограниченных относительно инвариантной меры на G. Групповая операция умножения позволяет построить гомоморфизм алгебр Г, переводящий каждую фукцию f(x) из A в фукцию двух переменных f(xy), т.е. в элемент тензорного произведения двух копий алгебры А (Г называется коумножением). Операция перехода к обратному в группе G может быть «закодирована» в виде антиизоморфизма S, переводящего A в себя (называемого антиподом), а инвариантная мера группы — в виде положительного линейного функционала m на A (интеграла по этой мере; этот фукционал, тоже называемый инвариантной мерой, может принимать и бесконечные значения на некоторых функциях). Таким образом, вся информация о группе может быть пересказана в терминах набора (А,Г,S,m), где А — алгебра (точнее, алгебра фон Неймана), а Г, S, m — отображения, удовлетворяющие определенным условиям. Такой набор с, вообще говоря, некоммутативной алгеброй А, и называется кольцевой группой; при этом алгебры функций на группах в точности соответствуют кольцевым группам с коммутативными алгебрами. Чисто алгебраически кольцевые группы оказались не чем иным, как алгебрами Хопфа, появившимися в топологии раньше (Г.И. не знал о существовании алгебр Хопфа, и переоткрыл их, когда вводил кольцевые группы).

 

Двойственный к обычной группе объект тоже можно описать как кольцевую группу, на этот раз с кокоммутативным коумножением (т.е. не меняющимся при перестановке сомножителей в тензорном произведении). В этом случае алгебра А порождена операторами L(g) сдвига на группе (здесь g — элемент группы G), или, что то же самое, операторами свертки L(F), где F  непрерывная суммируемая функция на группе. Коумножение Г переводит L(g) в тензорное произведение двух копий L(g), антипод S переводит L(g) в сопряженный оператор, функционал m сопоставляет оператору L(F) значение функции F в единице группы. Наконец, Г.И. описал конструкцию, как по заданной кольцевой группе (не обязательно коммутативной или кокоммутативной) построить двойственную к ней. При этом, дважды повторённая, эта конструкция вновь давала исходный объект, как и в случае двойственности Понтрягина. Всё это было опубликовано сначала в заметке в Докладах АН СССР в 1961 г., а затем в подробной статье (11). Технически эта работа использовала теорию И. Сигала следов на алгебрах фон Неймана (след — это положительный линейный центральный функционал, под знаком которого можно переставлять элементы алгебры; статью Сигала также перевёл на русский язык Г.И. в сборнике «Математика»). В приложении к группам это означало построение симметричной теории двойственности для унимодулярных, вообще говоря, некоммутативных, групп. Одной из важных открытых задач, сформулированных ещё в докторской диссертации Г.И. (МГУ, 1963 г.), было обобщить эту теорию так, чтобы она охватывала любые локально компактные группы. Вот на ней-то и было мне предложено в начале 1970 г. попробовать свои силы. 

 

Довольно быстро выяснилось, что именно мешало такому обобщению: в теории кольцевых групп функционал m был следом, и для её обобщения, охватывающего неунимодулярные группы, необходимо было сначала научиться работать с нецентральными положительными функционалами на операторных алгебрах, могущими принимать бесконечные значения (сейчас они называются весами). Кроме того, в своей теории Г.И. существенно использовал тесные связи между следами и так называемыми гильбертовыми алгебрами, так что, обобщая теорию следов, следовало параллельно озаботиться и соответствующим обобщением теории гильбертовых алгебр. Г.И. эти идеи понравились, и мы начали активно их продумывать. Соответствующие записи у меня хранятся до сих пор. Но вскоре одна за другой появились работы (16) и (20), решавшие указанные задачи; нам было несложно их понять, т.к. мы сами уже успели пройти часть пути.

 

Теперь желанная добыча становилась достижимой, но нужно было торопиться, т.к. не одни мы охотились за ней. Во-первых, к тому времени М. Такесаки уже написал одну работу по обобщению кольцевых групп; вдобавок, он свободно владел всей необходимой техникой, и для меня по сей день остаётся загадкой, почему не он оказался первым «на финише», ведь он — крупный математик, получивший ряд первоклассных результатов. Во-вторых, Г.И. думал, что ту же цель видел и Ж. Диксмье; хорошо помню его слова: «Лёня, нужно торопиться, я уверен, что Диксмье посадил кого-то заниматься этой задачей». Как вы увидите, он оказался прав. Но даже в этой напряжённой обстановке глубочайшая порядочность не изменила ему: т.к. он считал, что это я предложил главные идеи возможного решения задачи, он решил дать мне возможность самому довести решение до конца и, значит, быть его единственным автором. А ведь это он поставил задачу и приложил массу усилий, чтобы подготовить меня к её решению! Кроме того, мы с ним постоянно беседовали на близкие темы – он любил, чтобы я подходил к концу его лекций к аудитории и провожал его, пешком от площади Урицкого, где находилось училище, мимо вокзала до его дома на Большой Подвальной (названия тогдашние). Иногда беседы продолжались у него дома. Немало мы беседовали и в аудитории – у доски или за партой. Семинар Г.И. по кольцам операторов продолжал работать вплоть до его смерти, а затем он «переехал» в Дом Научно-Технической пропаганды, и им стал руководить Ю.Л. Далецкий.

 

В том, что я был пущен «в свободное плавание», был немалый риск, т.к. я ещё не вполне владел нужной техникой, и чтобы усвоить её, мне было необходимо какое-то время. К тому же смерть моего отца в августе 1971 г. надолго выбила меня из колеи. В конце концов, увидев, что я продвигаюсь медленно, и поняв, что мы можем крупно проиграть, Г.И. всё же активно подключился к работе. Почувствовав мощную поддержку (он быстро «пробил» пару мест, где я притормозил), я раскрепостился, и мы, согласованно работая единой командой, сравнительно быстро закончили работу «вчерне». Но и теперь Г.И. остался верен себе: по-прежнему считая, что мне принадлежат основные идеи решения, он предложил, чтобы сначала я опубликовал часть решения сам, а уже затем мы с ним вместе опубликуем полное решение. Так и сделали — заметка (6) сдана в печать раньше, чем обе статьи (7).

 

Здесь нас ожидало нешуточное испытание — появилась большая работа Такесаки (21), где он сделал очередной шаг к обобщению кольцевых групп. В Киеве его статья была недоступна, а «Реферативный журнал» сообщал, что там построена полная теория двойственности, обобщающая теорию кольцевых групп Г.И. Каца и охватывающая любые локально компактные группы. Поскольку и автор, и название реферируемой статьи были вполне подходящими, трудно было сомневаться, что мы проиграли. Расстроенный Г.И. бросил все дела и помчался в Москву, чтобы в библиотеке самому во всём удостовериться (вообще, он старался несколько раз в год туда ездить, чтобы следить за публикациями, недоступными в Киеве, и  общаться с коллегами, например, с М.А. Наймарком, Ф.А. Березиным, А.А. Кирилловым, А.И. Штерном и другими). У меня на душе тоже было скверно, но вот вновь возник Г.И. с ксерокопией статьи Такесаки и выяснилось, что референт ошибся, и результаты статьи не достигают того, что было нашей (и не только нашей) целью.

 

Итак, мы дописали и опубликовали намеченные статьи. Но практически одновременно появились статьи учеников Диксмье М. Энока и Ж.-М. Шварца, содержащие эквивалентные результаты (хотя техника была немного иной). Как потом рассказал Мишель Энок, их тоже торопил Диксмье, объясняя, что кроме Такесаки, наверняка и у Каца в Киеве тоже кто-нибудь работает над этой проблемой. Французские коллеги и тогда, и потом немедленно посылали нам свои препринты и выходящие из печати статьи, а мы не могли им ответить, т.к. работали в «режимном» училище и не могли ни общаться, ни переписываться с иностранцами. Так, в 1975 г. нас пригласили участвовать в конференции в Марселе, посвящённой нашей тематике. Г.И. сразу сказал, что поехать мы не сможем, но я сгоряча показал приглашение в так называемом первом отделе училища. Я ещё легко отделался: КГБисты объяснили, что если я хочу и дальше здесь работать, то лучше считать, что никто ничего им не показывал.

 

Ввиду очевидной основополагающей роли Г.И. в появлении введенных нами новых математических объектов, в высшей степени справедливым оказалось предложение Энока и Шварца назвать их алгебрами Каца (наверное, читатель знает, что существуют ещё алгебры В.Г. Каца — Р.В. Муди, имеющие совершенно иную математическую природу). Первая работа с таким названием появилась в 1974 г., я узнал об этом от самого Г.И. У него были очень живые глаза, и когда он рассказывал о её появлении, было видно, какую большую радость ему это доставило. Разумеется, по поводу термина «алгебра Каца» вслух он ничего не сказал — его скромность, по-моему, не знала пределов. Теории алгебр Каца посвящена книга (22).

 

Конечно, алгебры Каца были придуманы не только ради красоты, но и для того, чтобы их применить к решению различных задач. Г.И. любил говорить, что на кольцевые группы (он стеснялся называть их алгебрами Каца) нужно смотреть как на обычные группы, которые они обобщают. При этом их область применения может оказаться шире, чем у обычных групп, а результаты — полнее (так позднее и оказалось). Но для того, чтобы их успешно применять, сначала нужно было разобраться с их структурой, примерами и свойствами — все-таки, это были не группы, а их далеко идущее обобщение. Ещё в начале 60-х  Г.И. выделил и начал изучать специальные классы кольцевых групп – компактные, дискретные, конечные, и их представления, а затем продолжил эту работу в сотрудничестве с В.Г. Палюткиным.

 

Докторская диссертация Г.И. содержала целый список проблем, ждущих решения; некоторые были с тех пор решены (выше я обсуждал одну из них), а другие открыты и по сей день. Одна из таких открытых проблем состоит в том, что существование инвариантной меры непосредственно входит в определение алгебры Каца, а не выводится из других аксиом, как в случае обычных групп (доказать единственность этой меры не составляет проблемы). Оправдывает такую аксиоматику теорема А. Вейля о том, что существование на группе инвариантной меры влечёт существование на ней локально компактной топологии; вместе с теоремой Хаара (т.е., обратным утверждением) это значит, что существование меры и существование топологии эквивалентны. Однако было бы естественнее определить алгебры Каца лишь в алгебраико-топологических терминах, а существование инвариантной меры доказать — как доказывается теорема Хаара для обычных групп. Для указанных выше специальных классов алгебр Каца эта трудность преодолена в (15),(19).

 

В частности, конечные алгебры Каца (15) — это конечномерные полупростые *-алгебры Хопфа над полем комплексных чисел. Вместо инвариантной меры в аксиоматику входит коединица, т.е. характер, специальным образом связянный с коумножением и антиподом — аналог единицы в обычной группе. Существование и единственность инвариантной меры — теорема. Естественно определяется морфизм и, значит, подобъект, факторобъект и т.д. Работа (15) чётко и ясно написана, в своё время она произвела на меня глубокое впечатление, да и сейчас и я иногда предлагаю её читать молодым математикам для первого знакомства с предметом. Особенно удачен был этот опыт с Дмитрием Никшичем в 1995-96 гг.: чтение пробудило в нём интерес, и он с тех пор много и успешно занимается важными обобщениями алгебр Каца. В том же духе дана аксиоматика компактных алгебр Каца (19); в этой работе доказана теорема о существовании инвариантной меры. 

 

Г.И. показал в своей докторской диссертации и в работе (13), что ряд классических результатов о конечных группах переносится на конечные алгебры Каца. В частности, он получил аналог теоремы Лагранжа о том, что порядок подгруппы делит порядок группы (позднее более сильное утверждение было установлено В.Д. Николсом и М.Б. Цёллером для любых алгебр Хопфа). Как и для конечных групп, единственная алгебра Каца простой размерности р — это циклическая группа порядка р (этот результат неоднократно обобщался в недавних работах различных авторов). Г.И. также доказал, что для всякого неприводимого представления конечной алгебры Каца существует базис, в котором матричные элементы этого представления — целые алгебраические числа.

 

Как уже отмечалось, коммутативные алгебры Каца отождествляются с обычными группами, а кокоммутативные — с двойственными к обычным группам объектами. Особый интерес представляют примеры алгебр Каца, не относящиеся к этим двум классам (они называются нетривиальными). Первые такие примеры построили Г.И. Кац и В.Г. Палюткин – см. (12),(14),(15). Ниже я постараюсь объяснить, из каких соображений они исходили, а пока  замечу, что эти примеры оказались исторически первыми примерами так называемых квантовых групп, имеющих многочисленные важные приложения. Это было отмечено В.Г. Дринфельдом в его основополагающей работе (10).

 

Подобно тому, как обычные группы интересны прежде всего как группы преобразований множеств, алгебры Каца также могут действовать, но уже не на множествах, а на алгебрах. Г.И. неоднократно высказывал точку зрения, ныне общепринятую, что алгебры — это некоммутативные аналоги множеств, а кольцевые группы — некоммутативные аналоги групп. Он предлагал определение действия кольцевой группы на алгебре и конструкцию скрещённого произведения этих объектов. Подобным конструкциям и связанным с ними результатам был позже посвящён цикл работ Энока и Шварца. 

 

Возвратимся снова в Киев середины 70-х. Обсуждая вопрос о новых задачах, Г.И. агитировал заняться углублённым изучением конечных кольцевых групп и их представлений, ориентируясь на известные результаты о конечных группах, в духе его работ (12),(13). Другой возможностью был поиск новых  нетривиальных примеров алгебр Каца, но эта задача оказалась трудной, и только более чем через 20 лет, в совершенно новой (и в математическом, и в житейском смысле) обстановке, я научился их строить «индустриальным способом». А тогда мне ближе были не алгебраические, а аналитические аспекты теории, однако поле деятельности в этом направлении казалось ограниченным.

 

Постепенно пришло решение заняться таким обобщением алгебр Каца, которое бы охватывало так называемые операторы обобщённого сдвига, или гипергруппы. Здесь были интересные аналитические задачи, можно было надеяться на интересные приложения и примеры. К моему огорчению, несмотря на то, что такая задача обсуждалась в диссертации Г.И. и в его работе (11), сейчас его реакция оказалась прохладной, он сказал, что раньше это ему нравилось, а потом он понял, что с алгебраической точки зрения такая теория бедновата. В самом деле, коумножение Г в теории алгебр Каца переводило произведение элементов алгебры А снова в произведение, а теперь на него накладывалось гораздо более слабое условие положительности. Из-за этого некоторые существенные результаты теории алгебр Каца становились неверными в этой более общей ситуации. Но мне казалось важным, что за счёт менее жёстких ограничений, эта теория имела гораздо больше приложений. Я увлёкся этим сюжетом, позже он стал темой моей докторской диссертации, защищенной в 1992 году. Меня очень поддержал в этом Ю.М. Березанский, был написан целый ряд работ, в том числе вместе с А.А. Калюжным, Ю.А. Чаповским, Г.Б. Подколзиным, но всё это происходило уже в 80-е и 90-е годы. А тогда, к моему великому сожалению, наше активное сотрудничество с Г.И. по существу прекратилось, хотя мы по-прежнему часто виделись и обсуждали математические и нематематические события. С тех пор я никогда не терял из виду теорию алгебр Каца, мою первую большую любовь в математике, но по-настоящему вернулся к ней лишь в середине 90-х.

 

КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ

 

Перехожу к событиям, связанным с развитием идей Георгия Исааковича, уже без него. Опыт работы с алгебрами Каца показал, что хотя они решали задачи, имевшиеся в виду при их создании, но с точки зрения приложений эта категория не была достаточно широкой (собственно, это и побудило меня заняться её обобщением). Однако настоящий прорыв в понимании того, в каком направлении можно развивать этот круг идей, произошёл в середине 80-х, когда В.Г. Дринфельд и ряд других математиков открыли мир квантовых  групп (10). Чисто алгебраически, квантовая группа отличается от алгебры Каца лишь тем, что квадрат антипода Sне обязательно тождественное отображение алгебры А (я не касаюсь здесь того, что и сама эта алгебра не обязательно полупроста, и основное поле может не быть полем комплексных чисел). Казалось бы — пустяк, но это в корне изменило всю ситуацию — появилась масса важных конкретных примеров и приложений, в частности, к теоретической физике и к топологии. Собственно, и придуманы-то были квантовые группы как раз в результате глубокого анализа математических моделей квантовой теории рассеяния, которыми много занимались сотрудники Л.Д. Фаддеева в Санкт-Петербурге. Как написал Алэн Конн в предисловии к книге (22), алгебры Каца оказались «недостаточно неунимодулярны», чтобы охватить новые приложения, и поэтому понадобились квантовые группы. А ведь, напомню, алгебры Каца сами по себе являются «неунимодулярным» обобщением кольцевых групп!

 

Помимо массы чисто алгебраических работ (где, например, были построены деформации практически всех классических групп Ли), в теории квантовых групп почти сразу появились и такие, в которых топология тоже играла важную роль. В частности, польский математик С.Л. Воронович построил в (9) теорию компактных квантовых групп, начинавшуюся с теоремы о существовании инвариантной меры и затем систематически изучавшую неприводимые представления и их матричные элементы. Как Вы помните, в теории компактных алгебр Каца такая теорема типа Хаара была доказана В.Г. Палюткиным (19) много раньше. Воронович также построил целый ряд конкретных примеров квантовых групп, не ограничиваясь лишь их алгебраической структурой, а доходя до построения «алгебры непрерывных функций» и двойственного объекта. При этом ему приходилось преодолевать многочисленные функционально-аналитические трудности, свои в каждом конкретном случае. Эта работа показала, с какими трудными проблемами придётся столкнуться на пути такого расширения теории алгебр Каца, чтобы новая «наука» охватила все интересные примеры и сохранила наиболее важные черты (в частности, красоту и симметрию) старой.

 

Важный шаг к построению новой теории, корни которого лежат в работах Г.И., сделали французские математики С. Бааж и Ж. Скандалис (1). Ещё в упомянутой выше статье Стайнспринга отмечалась существенная роль в теории двойственности унимодулярных групп унитарного оператора W, переводящего функцию двух переменных f(x,y) в f(x,xy). Г.И. построил аналог этого оператора для произвольной кольцевой группы и показал, что его фундаментальным свойством является так называемое пентагональное соотношение W23W13W12=W12W23 — индексы показывают, какие две из трёх компонент элемента, принадлежащего тензорному кубу алгебры А, отличаются от 1. Он был первым, кто написал это важное соотношение и уяснил, что именно на нём держится почти вся теория двойственности. Затем и мы с Г.И., и Энок со Шварцем, в полную силу использовали это наблюдение в нашем построении неунимодулярных алгебр Каца. Но Бааж и Скандалис пошли ещё дальше, объяснив, что уже сам по себе унитарный оператор, удовлетворяющий пентагональному соотношению, и ещё некоторым условиям регулярности, позволяет построить две алгебры в двойственности, каждая из которых несёт структуру, более общую, чем структура алгебры Каца. Они назвали этот объект фундаментальным унитарным оператором.

 

С окончанием эпохи СССР наша жизнь сильно изменилась. Мой приятель Дмитрий Гуревич смог съездить во Францию; в частности, он передал от меня привет и несколько оттисков Мишелю Эноку, который (по-видимому, удивившись тому, что я в самом деле существую) в ответ передал несколько килограммов своих работ за все прошедшие годы. Откуда он мог знать, что я получил всё, что он раньше посылал (часто в конвертах со следами вскрытия, но кого могли интересовать статьи по математике?), — ведь из-за Железного Занавеса ни разу не донеслось ни звука... Мы начали переписываться, и вскоре он приехал в Киев. Тогда, весной 1991 г., он и показал мне препринт работы (1). Из сентиментальных событий его визита помню наше посещение могилы Г.И. на Гостомельском кладбище. 

 

Весной 1992 г. уже я приехал в Париж по его приглашению. Хотя парижские впечатления меня переполняли, один эпизод особенно врезался в память: известный американский математик Адриан Окнеану сказал в начале своего доклада, что искренне рад впервые лично приветствовать представителя школы Г.И. Каца. Он не знал, что Г.И. никогда не мог официально иметь аспирантов, и в результате, насколько мне известно, вся его школа состояла из 2,5 учеников: В.Г. Палюткина, меня и В. Жука (последний работал с Г.И. в середине 70-х, но у него как-то не заладилось). Кроме меня, двое остальных официально были в аспирантуре у Ю.М. Березанского. Вообще, получая в Париже знаки уважения, я понимал, что они относились не ко мне лично, а, так сказать, к Г.И. в моём лице. Какая несправедливость, что ему самому не довелось получить и доли того признания, которое он заслужил! Кроме указанных выше жизненных обстоятельств, хочу вспомнить и о том, что его научные результаты, значительно опередившие своё время, не были достойно оценены некоторыми очень крупными математиками. Вот два примера: Л.С. Понтрягин, принцип двойственности которого так блестяще расширил Г.И., и И.М. Гельфанд, критиковавший работы Г.И. Последний выговаривал мне летом 1983 г., агитируя заняться другой тематикой: «Не зарывайте в землю свой талант, как сделал Ваш учитель Кац». И это накануне открытия квантовых групп (за которое В.Г. Дринфельд получил Филдсовскую премию — аналог Нобелевской премии для математиков), чьим прямым предшественником была теория алгебр Каца — см. (10)!

 

Постепенно возникла идея вновь вернуться к построению нетривиальных примеров алгебр Каца и квантовых групп. Хотя Воронович и другие уже построили немало конкретных примеров квантовых групп, но каждый раз это была «штучная» работа, связанная с преодолением серьёзных специфических функционально-аналитических трудностей. А хотелось бы иметь конструкции, позволяющие единым методом получать много разных примеров. Например, Дринфельд объяснил, чисто алгебраически, как можно изменить коумножение Г и антипод S, не меняя алгебру А заданной квантовой группы, чтобы вновь получить квантовую группу. Применяя эту конструкцию (она называется твистингом) к объекту, двойственному к обычной группе, можно было надеяться получить интересные примеры квантовых групп. Я начал думать над тем, как развить аналитические аспекты твистинга.

 

Энок снова приехал в Киев в мае 1994 г. к 70-летию со дня рождения Г.И. При поддержке М.Л. Горбачука, бывшего тогда президентом Киевского Математического Общества, мы оба сделали доклады на заседании общества о разных аспектах деятельности Г.И. В наших беседах обсуждалась и проблема примеров алгебр Каца. К осени, познакомившись с результатами М. Риффеля и  М. Ландстада, я уже представлял, как приспособить дринфельдовский твистинг к нашим целям, и весной 1995 г. в Париже мы закончили статью (23), а позже я расширил и усилил её результаты в (8). Конечномерный аспект этой конструкции активно обсуждался в Киеве с Д. Никшичем, который написал по этому поводу отдельную интересную работу. Результатом всей этой деятельности, помимо абстрактной конструкции, была целая серия новых «квантований» группы Гейзенберга, популярной у физиков; все они оказались не просто алгебрами Каца, а даже кольцевыми группами в смысле самого первого определения Г.И. Кроме того, были «проквантованы» классические серии конечных групп — группы перестановок, диэдральные, квазикватернионные и некоторые другие. Особенно интересны были алгебры Каца, полученные Никшичем из альтернированных групп. Последние, как известно, являются простыми группами (начиная с номера 5 в этой серии); простыми в определённом естественном смысле оказались и соответствующие алгебры Каца. Это дало положительный ответ на вопрос В.Г. Каца о существовании таких объектов. 

 

К концу 90-х произошли события, приблизившие появление долгожданного обобщения теории алгебр Каца. Бааж со Скандалисом, с одной стороны, и Воронович, с другой, углубили понимание условий регулярности, которые нужно наложить на фундаментальный унитарный оператор, чтобы он порождал пару квантовых групп, имеющих «разумные» свойства. Вариант теории таких квантовых групп был анонсирован Т. Масудой, И. Накагами и С.Л. Вороновичем. В бельгийском городе Лёвен А. Ван Даале создал небольшую, но активную группу исследователей, обсуждавших новые примеры квантовых групп и подходы к построению их общей теории. В частности, сам Ван Даале выделил класс квантовых групп, аксиомы которых формулировалась чисто алгебраически, а их топологические свойства можно было вывести из этих аксиом. На этом «лабораторном материале» было удобно изучать отдельные существенные черты будущей общей теории. Кроме того, Й. Кустерманс в деталях изучил свойства весов (т.е., линейных положительных функционалов, могущих принимать бесконечные значения) на алгебрах операторов. Они уже использовались в начале 70-х при построении теории неунимодулярных алгебр Каца, но теперь понадобилось более глубокое их изучение, т.к. речь шла о более сильной неунимодулярности (ниже я уточню, о чём идет речь).

 

Наконец, общая теория локально компактных (л.к.) квантовых групп была предложена в 1999 г. Й. Кустермансом и С. Ваасом, учениками А. Ван Даале — см. (17). Она была столь же красивой и симметричной, как и теория алгебр Каца; не очень преувеличивая, можно сказать, что она была «сшита по модели» последней. Более точно, л.к. квантовая группа в версии алгебр фон Неймана — это набор (А,Г,m,n), где алгебра А и коумножение Г такие же, как в теории алгебр Каца, а m и n — соответсвенно право- и левоинвариантный веса на А. В этой аксиоматике нет антипода, его существование и свойства выводятся из аксиом. Зато теперь предполагается наличие не одного, а двух весов — вот она, вторая неунимодулярность! Это похоже на обычную неунимодулярную л.к. группу, где есть две инвариантные меры — левая и правая. Сама структура теории похожа на структуру теории алгебр Каца, особенно в том, что касается двойственности. Конечно, технически она гораздо сложнее, зато охватывает практически все известные примеры л.к. квантовых групп.

 

С сентября 1999г. я провёл в Лёвене несколько месяцев и мог из первых рук познакомиться со всем этим, после чего увидел возможность реализовать следующую идею, корни которой уходят в замечательную теорию раширений конечных алгебр Каца (12). Как уже объяснялось, коммутативная алгебра Каца К1 — это алгебра функций на обычной группе G1, а кокоммутативная К2 — это двойственный объект к обычной группе G2. Пусть теперь заданы две такие группы, а значит, и две соответствующие алгебры Каца; спрашивается, можно ли построить новую алгебру Каца К с таким расчётом, чтобы К1, К и К2 образовали точную последовательность, т.е. чтобы К1 стала подалгеброй К, а К2 — соответствующей факторалгеброй (при этом К называется расширением К1 с помощью К2)? В (12) Г.И. дал полный ответ на этот вопрос в случае конечных групп: чтобы это можно было сделать, необходимо и достаточно, чтобы группы G1 и G2 действовали друг на друге, как на множествах, и чтобы эти действия были определённым образом согласованы. Он также полностью описал конструкцию всех таких расширений — она сейчас называется двойным скрещённым произведением. Первые нетривиальные примеры  алгебр Каца в (12),(14),(15) построены как раз на этой идее, причём в примере из (14)  G1 и G2  - группы Ли, он не был в тот момент подкреплён общей теорией расширений.

 

Впоследствии эта конструкция была переоткрыта разными авторами, в частности, М. Такеучи и Ш. Маджидом. Работы последнего  касались не только конечных, но и топологических групп — см. книгу (18) и имеющуюся там библиографию. Однако для достаточно общих групп, математическая природа их расширения может оказаться весьма сложной. Чтобы, например, гарантированно получить в качестве расширения алгебру Каца, нужно накладывать на  G1 и G2 весьма жёсткие ограничения (что и делал Маджид). Теперь же, когда к нашим услугам была гораздо более широкая категория л.к. квантовых групп, можно было ожидать, что конструкция «выстрелит» в полную силу. Я поделился этими соображениями со Стефаном Ваасом, и мы за несколько месяцев в реализовали намеченное — работа (4) полностью оправдала наши ожидания.

 

Что же касается конкретных примеров алгебр Каца и квантовых групп, то в (4) мы ограничились лишь несколькими, зато потом написали специальную работу (5), где в качестве G1 и G2 фигурировали всевозможные группы Ли малых размерностей; это привело к построению массы примеров, которые удалось классифицировать по их свойствам. В частности, удалось дать необходимые и достаточные условия, при которых расширение являлось алгеброй Каца. Пример квантовой группы совершенно иного рода, с неожиданными свойствами регулярности, в котором G1 и G2 — группы аделей из теории чисел, был позднее построен Баажем, Ваасом и Скандалисом. Ими же была перенесена на л.к. квантовые группы ещё одна блестящая идея Г.И. из (12). А именно, для описания неэквивалентных расширений кольцевых групп, он построил очень интересную теорию когомологий, включавшую так называемую точную последовательность Каца (читатель, конечно, понимает, что эта терминология была введена позже, когда выяснилось, насколько важна эта последовательность в разных вопросах). В последние годы точная последовательность Каца стала популярна не только среди специалистов по квантовым группам, но и среди чистых алгебраистов (А. Масуока, П. Шауэнбург и др.).

 

Я закончу свои заметки одной историей, главными героями которой являются алгебры Каца «в действии». Выше уже говорилось о том, что алгебры Каца могут действовать на, вообще говоря, некоммутативных алгебрах подобно тому, как группы могут действовать на множествах. В этой связи, в своём послесловии к книге (22), А. Окнеану объяснил, что они должны появиться как некоммутативные аналоги групповых симметрий в теории подфакторов (создатель этой теории В. Джонс удостоен Филдсовской премии). И действительно, в 1994 г., независимо друг от друга, В. Шиманский и Р. Лонго показали, что если  N — так называемый подфактор глубины 2 и конечного индекса фактора M, причём их относительный коммутант (т.е., множество элементов из M, коммутирующих с N) тривиален, тогда обязательно существует алгебра Каца К, действующая на M и такая, что N — подалгебра неподвижных точек этого действия. Конструкция указанной алгебры Каца была дана явно. Верно и обратное — отправляясь от заданной алгебры Каца и её действия на заданном факторе, можно построить соответсвующий подфактор с перечисленными свойствами. Эта ситуация очень напоминает классическую теорию Галуа, в которой N и M — поля, а К — группа Галуа; можно показать, что такая аналогия является весьма далеко идущей.

 

Этот впечатляющий результат вызвал лавину работ. Среди наиболее важных — работа М. Энока и Р. Неста, которые получили аналогичный результат для подфакторов бесконечного индекса, — естественно, алгебру Каца нужно тогда заменить л.к. квантовой группой. Другое важное обобщение получится, если отказаться от условия тривиальности относительного коммутанта. Тогда алгебру Каца нужно заменить так называемым квантовым группоидом — математической структурой, придуманной физиками – теоретиками. Главное её отличие от алгебры Каца в том, что коумножение Г не обязано переводить единицу алгебры в единицу; квантовый группоид обобщает обычный группоид в том же направлении, в каком алгебра Каца обощает обычную группу. Существует много работ (в том числе и наши с Д. Никшичем), в которых на квантовые группоиды переносятся различные результаты из теории алгебр Каца. Ссылки и исторические замечания о квантовых группах и квантовых группоидах можно найти во введении редактора к книге, цитированной в (5).

 

ПОСЛЕСЛОВИЕ

 

Эти заметки написаны в январе – марте 2004 г. во французском городе Кан, далеко в пространстве и во времени от Киева начала 70-х, и моих первых самостоятельных шагов в математике под присмотром Георгия Исааковича. Поэтому естественен лежащий на них отпечаток ностальгии. Но в первую очередь я хотел показать то мощное влияние, которое его работы (по количеству их было не так уж много) оказали на развитие целой области математики. Прошла почти целая жизнь, скоро 26 лет как его нет с нами, но вы без труда обнаружите в десятках работ, датированных 2003 и 2004 гг., ясные свидетельства того, что они «выросли» из его идей. Вот уж поистине: «Я памятник себе воздвиг нерукотворный ...». 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. S. Baaj, G. Skandalis, Unitaires multiplicatifs et dualite pour les produits croises de C*-algebres, Ann. Sci. Ecole Normale Sup., Ser. 4, 26(1993), 425-488.
 
2.  Ю.М. Березанский, Ф.А. Березин, Н.Н. Боголюбов, Л.И. Вайнерман, Ю.Л. Далецкий, А.А. Кириллов, Б.Г. Палюткин, Б.И. Хацет, С.Д. Эйдельман,  Георгий Исаакович Кац (Некролог), Успехи Матем. Наук 34, вып.2  (1979).  
 
3.  Ф.А. Березин и Г.И. Кац, Группы Ли с коммутирующими и антикоммутирующими параметрами, Матем. Сборник 82(1970), 343-359.
 
4. S. Vaes, L. Vainerman, Extensions of locally compact quantum groups and the bicrossed product construction, Advances in Mathematics, 175, n.1(2003), 1- 101.
 
5.  S. Vaes, L. Vainerman, On low-dimensional locally compact quantum groups, Locally Compact Quantum Groups and Groupoids. Ed. L. Vainerman, IRMA Lecture Notes in Mathematics and Mathematical Physics, Walter de Gruyter, 2003, 127-187.
 
6.  Л.И. Вайнерман, Характеризация объектов, двойственных к локально компактным группам, Функц. анализ и его прил. 8, вып.1(1974), 75-76.
 
7.  Л.И. Вайнерман и Г.И. Кац, Неунимодулярные кольцевые группы и алгебры Хопфа – фон Неймана, Докл. АН СССР 211(1973), 1031-1034; Матем. Сборник  94(1974), 194-225.
 
8. L. Vainerman, 2-Cocycles and Twisting of Kac algebras, Comm. Math. Phys., 191(1998), 697-721.
 
9. S.L. Woronowicz, Compact matrix pseudogroups, Comm. Math. Phys., 111 (1987), 613-665.
 
10. V.G. Drinfel’d, Quantum groups. Proceedings of the International Congress of  Mathematicians, Berkeley, vol. 1, 1986, 798-820.
 
 11. Г.И. Кац, Кольцевые группы и принцип двойственности, Труды Моск.  Матем. общества 12(1963), 259-301; 13(1965), 84-113.
 
12. Г.И. Кац, Расширения групп, являющиеся кольцевыми группами, Матем.  Сборник 76(1968), 473-496.
 
13. Г.И. Кац, Некоторые арифметические свойства кольцевых групп, Функц. Анализ и его прил. 6, вып.2(1972), 88-90.
 
14. Г.И. Кац и В.Г. Палюткин, Пример кольцевой группы, порождённой  группами Ли, Укр. матем. ж. 16(1964), 99-105.
 
15. Г.И. Кац и В.Г. Палюткин, Конечные кольцевые группы, Труды Моск. Матем. общества 15(1966), 224-261.
 
16. F. Combes, Poids associe a une algebre hilbertienne a gauche, Compos. Math. 23(1971), 49-77.
 
17. J. Kustermans, S. Vaes, A simple definition for locally compact quantum  groups, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. Ser. I 328 (10) (1999), 871-876; Locally compact quantum groups, Ann. Sci. Ecole Normale Sup., Ser. 4,     33 (2000),  837-934.
 
18. S. Majid, Foundations of Quantum Group Theory, Cambridge Univ. Press, 1995.
 
19. В.Г. Палюткин, Инвариантная мера на компактной кольцевой группе, Укр. матем. ж. 18(1966), 49-59.
 
20. M. Takesaki, Tomita’s theory of modular Hilbert algebras and their  applications, Lecture Notes in Math. 128 (1970).
 
21. M. Takesaki, Duality and von Neumann algebras, Lecture Notes in Math. 247  (1972), 665-785.
  
22. M. Enock and J.-M. Schwartz, Kac Algebras and Duality of Locally Compact Groups, Springer, 1992.
 
23. M. Enock, L. Vainerman, Deformation of a Kac algebra by an Abelian  subgroup,  Comm. Math. Phys., 178(1996), 571-596.


Опубліковано в журналі «У світі математики», Київського національного університету ім. Тараса Шевченка, 2004.

 

Вайнерман Леонід

Laboratoire Nicolas Oresme
Université de Caen
F14032 Caen Cedex
France

Leonid.Vainerman@math.unicaen.fr