Анатолій Улянович Клімик народився 14 квітня 1939 року в селі Угринівка Хмельницького району Вінницької області. В 1956 році вступив на фізико-математичний факультет Ужгородського університету, який закінчив у 1961 році. З 1961 року по 1964 рік працював вчителем середньої школи с. Ставне Великоберезнянського району Закарпатської області. З 1964 року по 1967 рік проходив підготовку в аспірантурі Інституту математики АН УРСР та Інституту теоретичної фізики АН УРСР. В 1967 році він захистив дисертацію на здобуття вченого ступеня кандидата, а в 1982 році - доктора фізико-математичних наук.
З 1967 року по 1989 рік працював на посадах молодшого, старшого і провідного наукового співробітника Інституту теоретичної фізики АН УРСР. З 1989 року по квітень 2008 року очолював відділ Математичних методів в теоретичній фізиці Інституту теоретичної фізики НАН України.
А. У. Клімик - всесвітньо відомий фахівець в області теорії представлень груп і алгебр Лі, сучасної теорії спеціальних функцій, математичної фізики та некомутативної геометрії. А. У. Клімик - автор 10 монографій, опублікованих вітчизняними та зарубіжними видавництвами, та понад 170 статей, опублікованих у зарубіжних та вітчизняних журналах.
Монографія “Представлення груп Лі і спеціальні функції”(4 томи) стала найбільш фундаментальною монографією в світовій літературі із сучасної теорії спеціальних функцій. Остання його монографія “Квантові групи та їх представлення” (Шпрінгер 1997) також стала широко відомою і цитованою в роботах авторів математичного і фізичного співтовариств.
А.У. Клімик - член ряду редколегій зарубіжних та вітчизняних видань (“Алгебри, групи і геометрії” (США), “Інтегральні представлення та спеціальні функції” (Гордон енд Бріч, Англія), “Методи функціонального аналізу і топології”, електронного журналу “SIGMA”.
Наукову роботу А.У. Клімик поєднував з педагогічною роботою. Для студентів фізичного факультету Київського університету він читав цикли лекцій з теорії представлень груп та алгебр Лі. Під його керівництвом захистились 2 докторські і 6 кандидатських дисертацій. За досягнення в розвитку математичних наук і науково-педагогічну роботу А. У. Клімика відзначено рядом нагород. Зокрема, орденом “Знак Пошани”, медаллю “За доблесну працю”, Державною премією України в галузі науки і техніки 2001 року, “Почесною грамотою Верховної Ради України” (2006 рік).
22 липня 2008 року на 70-році життя Анатолій Клімик пішов від нас …
Світла память про нього завжди залишиться в наших серцях.